Fonction polynôme du second degré : Forme canonique

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à la forme canonique n’est pas au programme de la classe de seconde, mais reconnaître la forme canonique d’une fonction polynôme de second degré donnée sous forme développée est au programme. Exemple : Soit  la fonction polynôme définie sur I = [ 5 ;5] par u ; 3 T² F6 T F1 . 6Montrer que pour tout dans I, ; 3 T F1 ; 4 .est la forme canonique de Q : T ; On développe la forme proposée : 6 6 6 ; ; ;3 T F1 4 = 3 2 T E 1 4 = 3² 6 3 4 3 6 T F1 = u . L’intérêt de cette écriture est de permettre l’étude complète de la fonction polynôme g, c’est-à-dire d’en donner les variations et la courbe rapidement. II) Etude générale, Tableau de variations, Courbe La courbe de la fonction g est une parabole. Quand elle admet un axe de symétrie, il s’agit de la droite d’équation = s. Remarque. Voir la résolution de l’exercice-type I ci-dessous pour le caractère symétrique de la courbe. 1) Supposons a strictement positif Alors la fonction g est strictement décroissante sur tout domaine inclus dans l’intervalle ∞; ? ? et strictement croissante sur tout domaine inclus dans l’intervalle ; E∞ > .