Fonctions logarithme, fonction exponentielle et puissance

Chapitre 3 FONCTIONS LOGARITHME, EXPONENTIELLE ET PUISSANCE 3.1 Etude de la fonction logarithme n´ep´erien 3.1.1 D´efinition 1 La fonction x −→ est continue sur ]0, +∞[. Elle admet donc des primitives sur cet intervalle. x 1 On appelle fonction logarithme n´ep´erien la primitive de x −→ qui s’annule en 1. Elle est x not´ee ln. Cons´equences : 1 • La fonction ln est d´efinie et d´erivable sur ]0, +∞[ded´eriv´ee la fonction x −→ x • ln(1) = 0 3.1.2 Premi`eres propri´et´es de la fonction ln 1 On a : ∀x∈]0, +∞[, ln (x)= > 0 donc ln est strictement croissante sur ]0, +∞[. ln ´etant x d´ erivable donc continue, et strictement croissante de ]0, +∞[ dansR, est donc une bijection de ]0, +∞[dans ln(]0, +∞[) =R. Cons´equences : • 1 a un unique ant´ec´edent (not´e e) par ln. •∀a, b > 0, ln a=lnb⇐⇒ a = b et lna 0. Cette ´equation n’a de sens que si x ln 1 ⇐⇒ 4−x> 1 d’ou` l’ensemble des solutionsS =]−∞, 3[. 3.1.3 Relations importantes Logarithme d’un produit Pour tous nombres strictements positifs a et b, on a ln(ab)=lna+lnb. 1 D´ emonstration : On pose f : x −→ ln(ax)etonv´erifie que f est aussi une primitive de x −→ x sur ]0; +∞[. Par suite f ne diff`ere de ln que d’une constante que l’on d´etermine en prenant x=1. 19 Logarithme d’un quotient Proposition : Pour tous nombres strictements positifs a et b, 1 a ln( )=− ln b et ln( )=lna− ln b. b b 1 a 1 D´ emonstration : On applique le r´esultat pr´ec´edent pour a = puis on ´ecrit que = a( )et b b b on applique le r´esultat pr´ec´edent.