Cours sur les nombres premiers

Nombres premiers Dans cette partie, on appelle nombre tout entier naturel non nul. 1 DØ?nition DØ?nition 1 Soit p un nombre. On dit que p est un nombre premier si p 2 et si les seuls diviseurs de p sont 1; 1; p et p. On noteP l?ensemble des nombres premiers. Exemple 2 Les entiers 2;3;5;7 et 11 sont des nombres premiers. Les entiers 1 et 4 ne le sont pas. Remarque 3 Si p est un nombre premier alors pour la plupart des nombres q : p est premier avec q, mais attention 4 est premier avec 15 mais 4 n?est pas un nombre premier (15 non plus). 2 Crible d?EratosthŁne Recherchons tous les nombres premiers plus petits que 100 par exemple. Le nombre 1 n?est pas un nombre premier. On l?enlŁve. Le nombre 2 est premier. Tous les multiples de 2 autres que 2 ne sont pas premiers et sont donc otØs. Le nombre 3 est premier. On enlŁve ensuite tous les multiples de 3 strictement supØrieurs ? 3 (ils ne sont pas premiers). Le plus petit nombre restant est 5, qui est donc premier. On enlŁve tous les multiples de 5 strictement supØrieurs ? 5. Cette mØthode permet donc de proche en proche d?obtenir les nombres premiers plus petits que 100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 3 Nombres premiers et divisibilitØ Proposition 4 Soit p un nombre, p 2.